Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán trung bình cộng bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng

Nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán trung bình cộng bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng

1. I . ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là một lĩnh vực rất phong phú, đa dạng; vừa cụ thể và vừa trừu tượng; là một kho tàng tri thức vô tận. Đặc biệt đối với chương trình Toán tiểu học, học sinh bắt đầu làm quen với các phép tính và các khái niệm sơ đẳng về các dạng toán như: Tổng - hiệu; Tổng (hiệu) - tỉ; Trung bình cộng; Tỉ số phần trăm; Chuyển động đều; Việc đưa dạng toán giải vào chương trình Tiểu học có ý nghĩa rất lớn vì: - Nhờ vào việc giải toán mà học sinh được củng cố, vận dụng và hiểu sâu sắc thêm tất cả các kiến thức về Số học, Đo lường, Các yếu tố Đại số, Các yếu tố Hình học đã được học trong môn toán ở Tiểu học. Hơn nữa phần lớn các biểu tượng, khái niệm, quy tắc, tính chất Toán học ở Tiểu học đều được học sinh tiếp thu qua con đường giải toán chứ không phải con đường lí luận. - Được vận dụng vào thực tiễn cuộc sống: Thông qua việc tiếp xúc các dạng toán giải, học sinh tiếp nhận được những kiến thức phong phú về cuộc sống và có điều kiện để rèn luyện khả năng áp dụng kiến thức Toán học vào cuộc sống; làm tốt điều Bác Hồ đã căn dặn “ Học đi đôi với hành”. - Phát triển tư duy, óc sáng tạo và thói quen làm việc một cách khoa học cho học sinh. - Rèn luyện tính kiên trì, tự lực, vượt khó, cẩn thận, chu đáo, yêu thích sự chặt chẽ, chính xác. Một trong những dạng toán vận dụng nhiều trong cuộc sống và phát triển tư duy cho học sinh đó là dạng toán trung bình cộng. Song việc giải dạng này ở chương trình Tiểu học mới chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh biết vận dụng công thức để tính. Vì thế đối với những bài toán nâng cao cho học sinh khá giỏi đang còn gặp nhiều khó khăn. Trước sự bất cập trong quá trình bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu, bản thân tôi ngoài việc áp dụng công thức tính, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm đó là “Giải bài toán trung bình cộng bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng”. 1
2. Giải toán bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng là một cách giải dùng những đoạn thẳng bằng nhau để biểu thị mối quan hệ giữa đại lượng này với đại lượng kia, để từ đó giúp học sinh nhìn vào sơ đồ để tìm ra đáp án cho bài toán. Đây là một cách giải rất cụ thể và dễ đi vào nhận thức của học sinh, giúp các em biến những cái trừu tượng thành những cái đơn giản hơn. Mặt khác, sơ đồ đoạn thẳng học sinh đã được làm quen từ cuối học kì I của lớp 1 – khi các em tập làm quen với dạng toán giải. Nên hướng đi này rất phù hợp với đặc điểm tâm sinh lí của học sinh. II. NỘI DUNG 1. Thực trạng Vào đầu năm học 2021 – 2022, tôi được phân công và giảng dạy lớp 4C, lớp có 32 học sinh, phần lớn lại là con em của những gia đình có nhiều khó khăn về kinh tế. Chính vì vậy dẫn đến nhiều khó khăn cho công tác dạy nâng cao cho học sinh có năng khiếu. Sau ngày khai giảng, đến đầu tháng 10, sau khi học sinh đã được hoàn thành cơ bản về toán Trung bình cộng của chương trình sách giáo khoa lớp 4, tôi liền làm một bài kiểm tra thử cho 10 em khá giỏi của lớp qua bài toán sau: Ví dụ : Hãy giải bài toán sau bằng hai cách: a) Tìm 5 số lẻ liên tiếp có tổng là 105 b) Tìm 6 số chẵn liên tiếp có tổng là 90 Do các em đang còn khó khăn khi vừa đọc đề toán nên tôi đã gợi ý giúp các em tìm 2 cách: Cách 1: Các em áp dụng công thức để tính; Cách 2: Các em tự tìm. Sau khi thu bài kiểm tra, tôi đã thu được kết quả như sau: SỐ HỌC SINH GIẢI THEO SỐ HỌC SINH GIẢI THEO SỐ HỌC SINH KHÔNG GIẢI CÁCH 1 ( CÁCH ÁP DỤNG TỔNG SỐ HỌC CÁCH 2 ( CÁCH KHÁC) ĐƯỢC BÀI TOÁN CÔNG THỨC ) SINH SL TL SL TL SL TL Bài a 10 em 10 em 100% 2 em 20% 0 em 0% Bài b 10 em 0 em 0% 2 em 20% 8 em 80% 2
3. Với kết quả trên, tôi thật sự lo lắng. Nhìn vào cách làm của học sinh, tôi thấy hầu như cách 2 là cách làm mà các em tự mày mò chứ không theo một công thức nào. Đây là 2 bài toán nhìn qua thì thấy giống nhau song ở bài b khó hơn ( vì có số số hạng chẵn) nên nếu để nguyên bài toán thì học sinh sẽ không giải được theo cách áp dụng công thức tính như ở Sách giáo khoa. Còn bài a thì dễ hơn (vì có số số hạng lẻ) thì trung bình cộng chính là số chính giữa của dãy số đó. Đây là 2 bài toán chưa thật sự khó, vậy khi học sinh gặp những bài khó hơn sẽ như thế nào? Sở dĩ có những hạn chế trên là do những nguyên nhân sau: Về phía giáo viên: Do đầu tư cho công tác nâng cao cho học sinh khá giỏi chưa được chú tâm, trình độ chuyên môn của một số giáo viên còn hạn chế, nội dung kiến thức về toán trung bình cộng đưa vào chương trình quá ít nên giáo viên chưa thấy rõ tầm quan trọng của dạng toán này, . Về phía học sinh: Do được học ít về lượng kiến thức phần này nên nhiều học sinh chưa chú tâm, với xu thế hiện nay của đời sống xã hội nên các em có nhiều sự phân tán mất tập trung trong việc học, việc tìm tói các tài liệu nâng cao còn hạn chế, Với hạn chế trên, tôi thấy nguyên nhân chính là nằm ở giáo viên. Trước sự bất cập đó, tôi đã lựa chọn những phương pháp sau để nhằm nâng cao chất lượng về dạng toán này cho học sinh. 2. CÁC BIỆN PHÁP 1. Kiểm tra khả năng nhận thức của học sinh về dạng toán trung bình cộng Bước này sẽ được tiến hành ngay sau khi học sinh đã được học kiến thức cơ bản ở Sách giáo khoa. Ra bài kiểm tra mạng tính mở như ở ví dụ trên để giáo viên nắm bắt được trình độ nhận thức của học sinh để từ đó có phương pháp giảng dạy cho phù hợp. 2. Phân loại một số dạng bài toán Trung bình cộng và cách giải chúng. 2.1. Dạng 1: Dạng toán trung bình cộng của dãy số cách đều 3
4. Đối với những bài tập dạng này sẽ có những bài toán giống như ở ví dụ trên. Chúng được chia thành 2 loại: - Loại bài dành cho dãy số có số số hạng lẻ (bài a); - Loại bài dành cho dãy số có số số hạng chẵn (bài b). Với bài a thì dễ dàng làm theo cách 1 (Cách áp dụng công thức tính) vì có số số hạng lẻ nên số chính giữa chính là trung bình cộng, còn bài b thì để nguyên ta không thể áp dụng công thức tính vì số số hạng chẵn nên không có số chính giữa trong dãy số đó, - điều này là kiến thức nâng cao học sinh chưa được biết. Còn giải theo cách 2 ta sẽ hướng học sinh cả hai bài toán đều đưa về cách vẽ sơ đồ để giải. Với lí luận đó, giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh giải 2 bài toán trên theo 2 cách sau: Giải Bài a: Cách 1: Vì dãy có 5 số lẻ liên tiếp nên số chính giữa chính là trung bình cộng của 5 số Số chính giữa ( số thứ 3)là: 105 : 5 = 21 Số thứ hai là: 21 - 2 = 19 Số thứ nhất là: 19 – 2 = 17 Số thứ tư là: 21 + 2 = 23 Số thứ năm là: 23 + 2 = 25 Đáp số: 17, 19, 21, 23, 25 Cách 2: Phân tích: Vì hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu ta xem số tự nhiên thứ nhất là 1 đoạn thẳng thì số tự nhiên thứ hai là 1 đoạn thẳng như thế và thêm 2 đơn vị. Cứ tiếp tục như thế ta sẽ có sơ đồ: 4
5. Số thứ nhất Số thứ hai 2 Số thứ ba 2 2 105 Số thứ tư 2 2 2 Số thứ năm 2 2 2 2 5 lần số thứ nhất là: 105 – ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) = 85 Số thứ nhất là: 85:5 = 17 Số thứ hai là: 17 +2 = 19 Số thứ ba là: 19 +2 = 21 Số thứ tư là: 21 +2 = 23 Số thứ năm là: 23 +2 = 25 Đáp số: 17, 19, 21, 23, 25 Bài b: Cách 1: Trung bình cộng của 6 số là: 90 : 6 = 15 Vì dãy có 6 số chẵn cách đều nên trung bình cộng chính bằng nửa tổng số đầu và số cuối . Tổng số đầu và số cuối là: 15 x 2 = 30 Hiệu của số cuối và số đầu là: 5 x 2 = 10 5
6. Số đầu là: (30 – 10) : 2 = 10 Số cuối là: 30 – 10 = 20 Số chẵn thứ hai là: 10 + 2 = 12 Số chẵn thứ ba là: 12 + 2 = 14 Số chẵn thứ tư là: 14 + 2 = 16 Số chẵn thứ năm là: 16 + 2 = 18 Đáp số: 10, 12, 14, 16, 18, 20 Đây là cách giải nâng cao cho học sinh chứ không có ở trong Sách giáo khoa. Qua việc đưa ra các ví dụ, rút ra cho học sinh cách tính trung bình cộng của dãy số cách đều mà có số số hạng chẵn là bằng nửa tổng của số đầu và số cuối. Tuy nhiên đây là cách giải sẽ là hạn chế cho những bài toán ứng dụng khác nên tôi sẽ không đưa vào trọng tâm. Cách 2: Vì hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu ta xem số tự nhiên thứ nhất là 1 đoạn thẳng thì số tự nhiên thứ hai là 1 đoạn thẳng như thế và thêm 2 đơn vị. Cứ tiếp tục như thế ta sẽ có sơ đồ: Số thứ nhất Số thứ hai 2 Số thứ ba 2 2 90 Số thứ tư 2 2 2 Số thứ năm 2 2 2 2 Số thứ sáu 2 2 2 2 2 6 lần số thứ nhất là: 6
7. 90 – ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) = 60 Số thứ nhất là: 60 : 6 = 10 Số thứ hai là: 10 +2 = 12 Số thứ ba là: 12 +2 = 14 Số thứ tư là: 14 +2 = 16 Số thứ năm là: 16 +2 = 18 Số thứ sáu là: 18 + 2 = 20 Đáp số: 10, 12, 14, 16, 18, 20 Qua việc đưa ra 2 cách giải đó thì ta thấy cách giải 1 sẽ là khó khăn cho những bài toán như dạng bài b. Còn cách giải thứ 2 thì sẽ thuận lợi và phù hợp cho cả những dạng như bài toán a và b. Việc cung cấp cách giải này cho học sinh chỉ được thực hiện khi các em đã được học những dạng toán liên quan cách giải của nó như: Tổng - hiệu; Tổng ( hiệu) - tỉ vì nó có mối quan hệ mật thiết với 2 dạng toán này. Điểm mấu chốt ở đây là giáo viên phải cho học sinh hiểu bản chất để vẽ sơ đồ đoạn thẳng là: Nếu ta xem số thứ nhất là một đoạn thẳng thì số thứ hai là một đoạn như thế và thêm một số đơn vị. Nắm bắt được điều đó học sinh sẽ dễ dàng vẽ được sơ đồ và tìm ra đáp án cho bài toán. Với hướng đi đó, học sinh sẽ dễ dàng làm được một số bài toán ứng dụng của dạng này với mức độ khó hơn như sau: Bài 1: Trung bình cộng của 3 số là 35. Tìm số thứ ba, biết số thứ nhất gấp đôi số thứ hai, số thứ hai gấp đôi số thứ ba Giải 7
8. Phân tích: Vì bài toán cho trung bình cộng của 3 số nên ta áp dụng công thức để tìm tổng 3 số rồi từ đó vẽ sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa 3 số Tổng 3 số là: 35 x 3 = 105 Ta có sơ đồ: Số thứ ba Số thứ hai 105 Số thứ nhất Số thứ ba là: 105: ( 1+2+4) = 17 Số thứ hai là: 17 x 2 = 34 Số thứ nhất là: 34 x 2 = 68 Đáp số: 68, 34, 17 Bài 2: Trung bình cộng của ba số là 75. Nếu thêm 0 vào bên phải số thứ hai thì được số thứ nhất. Nếu ta gấp số thứ hai lên 4 lần thì được số thứ ba. Tìm 3 số đó? Giải Phân tích: Đây là bài toán cho trung bình cộng nên ta sẽ tính được tổng của chúng, Ta xem số thứ hai là một phần thì số thứ nhất là một đoạn thẳng gồm 10 phần như thế và số thứ ba sẽ là một đoạn thẳng gồm 4 phần như thế. Ta có sơ đồ: Số thứ nhất Số thứ hai 225 Số thứ ba Tổng của 3 số đó là: 75 x 3 = 225 Số thứ hai là: 225: ( 10 + 1 + 4) x 1 = 15 8
9. Số thứ nhất là: 15 x 10 = 150 Số thứ ba là: 15 x 4 = 60 Đáp số: 150, 15, 60 Như vậy, với cách giải bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng trên sẽ dễ dàng cho học sinh trong tất cả những bài toán từ dễ (bài 1) đến khó ( bài 2). Nó không chỉ phục vụ riêng cho học sinh khá giỏi mà đối tượng học sinh đại trà cũng sẽ làm được những bài đơn giản. 2.2. Dạng2: Dạng liên quan đến bản chất của số trung bình cộng trong một dãy Khác với dạng trên, dạng này là tập hợp những bài toán khó hơn dạng 1 nhưng vẫn giải theo cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng. Đối với dạng này, giáo viên cần cho học sinh nắm chắc được bản chất sau: Nếu ta xem trung bình cộng của một dãy số có n số là 1 đoạn thẳng thì tổng của n số đó chính là có n đoạn như thế gộp lại. Hiểu được như thế ta sẽ hướng dẫn học sinh dựa vào những cái đã cho của từng bài toán cụ thể rồi vẽ sơ đồ đoạn thẳng và đưa về dạng cơ bản để giải. Ta sẽ đi vào cụ thể những bài toán sau: Bài 3: Lân có 20 hòn bi. Long có số bi bằng một nửa số bi của Lân. Quý có số bi nhiều hơn trung bình cộng của 3 bạn là 6 hòn bi. Hỏi Quý có bao nhiêu hòn bi? Giải Phân tích: Ta xem trung bình cộng số bi của 3 bạn là 1 đoạn thẳng thì tổng số bi của 3 bạn là 3 đoạn như thế gộp lại. mà số bi của Lân đã biết, số bi của Long ta sẽ tính qua Lân. Từ đó ta tính được số bi của Quý Trung bình cộng số bi của cả ba bạn 6 Số bi của cả ba bạn là Quý Lân + Long = 30 viên Số bi của Quý 6 Số bi của Long là: 9
10. 20 : 2 = 10 (hòn) Số bi của Long và Lân là: 10 + 20 = 30 (hòn) Trung bình cộng số bi của 3 bạn là: ( 30 + 6 ) : 2 = 18 (hòn) Số bi của Quý là: 18 + 6 = 24 (hòn) Đáp số: 24 hòn Bài 4: Khối lớp 4 của một trường Tiểu học có ba lớp. Biết rằng lớp 4A có 28 học sinh, lớp 4B có 26 học sinh. Trung bình số học sinh hai lớp 4A và 4C nhiều hơn trung bình số học sinh của ba lớp là 2 học sinh. Tính số học sinh lớp 4C? Giải Phân tích: Đây là 1 bài toán khó đối với học sinh. Cần phân tích cho học sinh thấy rõ: Nếu ta xem trung bình cộng số học sinh của 3 lớp là 1 đoạn thẳng thì trung bình cộng của hai lớp 4A và 4C là 1 đoạn dài hơn đoạn trên 2 đơn vị. Như vậy, tổng số HS của 2 lớp 4A và 4C sẽ nhiều hơn 2 lần trung bình cộng của ba lớp là 2 x 2 = 4em. Đến đây dễ dàng cho HS thấy rõ được hướng đi cho bài toán Ta có sơ đồ: TB cộng số học sinh 3 lớp TB cộng số học sinh 4A và 4C 2 Tổng số học sinh 4A và 4C 2 2 Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C nhiều hơn 2 lần trung bình cộng của 3 lớp là: 2 +2 = 4 (em) Trung bình cộng số học sinh của 3 lớp là: ( 26 + 4 ) : 1 = 30 (em) Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C là: 10
11. 30 x 2 + 4 = 64 (em) Số học sinh lớp 4C là: 64 – 28 = 36 (em) Đáp số: 36em Bài 5: Tuổi trung bình của 10 cầu thủ ( không tính đội trưởng) của một đội bóng là 21 tuổi. Biết rằng tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình cả đội là 10 tuổi. Hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi? Giải Phân tích: Ta xem trung bình cộng của 11 cầu thủ là 1 đoạn thẳng thì tuổi của đội trưởng là 1 đoạn như thế và thêm 10 tuổi nữa, và tổng số tuổi 11 cầu thủ là 11 đoạn như thế. Đồng thời qua sơ đồ ta cũng thấy được mối quan hệ giữa tổng những cầu thủ còn lại với đội trưởng, từ đó ta tìm được đáp án. Tổng số tuổi của 10 cầu thủ ( không tính đội trưởng) là: 21 x 10 = 210 (tuổi) Ta có sơ đồ: TB cộng số tuổi cả đội Tổng số tuổi của cả đội Đội trưởng 210 tuổi 10 lần trung bình cộng số tuổi của cả đội là: 210 + 10 = 220 (tuổi) Trung bình cộng số tuổi của cả đội là: 220 : 10 = 22 (tuổi) Tuổi đội trưởng là: 22 + 10 = 32 (tuổi) Đáp số:32 tuổi 3. KẾT QUẢ Với việc vận dụng cách dạy trên, sau một thời gian bồi dưỡng học sinh khá giỏi, kĩ năng của các em về dạng toán này tăng lên rõ rệt. Đến thời gian cuối học 11
12. kì I, tôi ra một đề thi để kiểm tra việc tiếp thu bài của 10 em học sinh khá giỏi của lớp tôi với đề bài sau: Tuổi của Lan ít hơn trung bình của ba anh em là 2 tuổi, tuổi của anh Hải nhiều hơn trung bình tuổi của ba anh em là 2 tuổi. Còn em Yến 6 tuổi. Tính tuổi của anh Hải và Lan? Sau khi ra bài kiểm tra xong, tôi kiểm chứng lại thì thấy hầu như các em làm đúng theo hướng tôi dạy.Tôi đã thu được kết quả như sau: SỐ HỌC SINH GIẢI CÁCH 1 SỐ HỌC SINH GIẢI CÁCH 2 TỔNG SỐ HỌC SINH LỚP ( Cách áp dụng công thức) ( Cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng) THAM GIA LÀM BÀI SL TL SL TL 4C 10 em 0 em 0% 10 em 100% Với kết quả khả quan đó, nhay sau đó đi trên, tôi cũng đã trao đổi với tổ chuyên môn, bạn bè đồng nghiệp về phương pháp dạy của mình cho dạng toán trung bình cộng để các giáo viên trong khối cùng áp dụng. Khoảng một tháng sau, tôi làm bài khảo sát những học sinh khá giỏi của 2 lớp 4A và 4B bên cạnh về dạng toán này với đề bài dạng như ở bài kiểm tra của lớp tôi. Và thu được kết quả như sau: và thu được kết quả như sau: SỐ HỌC SINH GIẢI CÁCH 1 SỐ HỌC SINH GIẢI CÁCH 2 TỔNG SỐ HỌC SINH LỚP ( Cách áp dụng công thức) ( Cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng) THAM GIA LÀM BÀI SL TL SL TL 4A 8 em 0 em 0% 7 em 88% 4B 6 em 0 em 0% 6 em 100% 4. KẾT LUẬN Qua hơn một học kì giảng dạy học sinh có năng khiếu môn Toán lớp 4, với việc mạnh dạn đưa ra hướng đi mới cho dạng toán Trung bình cộng như trên, đồng thời nhân rộng trong đơn vị, tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm nhỏ cho dạng toán dựa vào cách giải vẽ sơ đồ đoạn thẳng như sau: 12
13. - Ngay từ đầu giáo viên phải làm bài kiểm tra về dạng toán đó để thấy được trình độ của học sinh để từ đó có phương pháp dạy phù hợp; - Cho học sinh nắm bắt được bản chất của dạng toán Trung bình cộng chính là số chính giữa của dãy số cách đều; - Khi gặp một bài toán dạng Trung bình cộng, học sinh cần đọc kĩ đề, định hướng xem nó là bài toán đơn giản chỉ việc áp dụng công thức ở Sách giáo khoa là giải được hay là bài toán khó hơn. Nếu gặp bài khó hơn thì xem nó thuộc dạng 1 (Dạng toán trung bình cộng của dãy số cách đều) hay dạng 2 (Dạng toán liên quan đến bản chất của số trung bình cộng). Từ đó có hướng giải quyết cho bài toán. + Nếu gặp bài của dạng 1: Dễ thì chỉ việc áp dụng công thức, nếu khó hơn thì đưa về dạng toán tổng (hiệu) – tỉ để giải. + Nếu gặp bài dạng 2: Thì phải hiểu được bản chất của toán Trung bình cộng là: Nếu ta xem trung bình cộng của một dãy số có n số là 1 đoạn thẳng thì tổng của n số đó chính là có n đoạn như thế gộp lại. Từ điểm mấu chốt đó, học sinh tự vẽ sơ đồ đoạn thẳng rồi tự giải; - Không nên lạm dụng nó một cách máy móc vì có những bài toán không nhất thiết phải vẽ sơ đồ (như ở bài 11 ở trên). Trên đây là sáng kiến nhỏ của tôi để giúp học sinh khá giỏi lớp 4 có kĩ năng giải những bài toán khó về dạng toán Trung bình cộng. Và thực tiễn cũng đã cho thấy kết quả thu được tương đối cao. Tuy nhiên, để học sinh có bề dày về kinh nghiệm giải toán khó nó đòi học sinh phải có sự tích luỹ và có kiến thức chắc chắn về những dạng toán cơ bản khác nữa. Với kinh nghiệm nhỏ nỳa chắc chắn nó sẽ có chỗ chưa trọn vẹn, kính mong hội đồng khoa học, các đồng nghiệp góp ý để kinh nghiệm của tôi có khả năng ứng dụng một cách tốt nhất. III- CAM KẾT Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trên là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật. Thanh Khương, ngày tháng năm 2023 Giáo viên 13